162年难题，黎曼猜想被印度数学家迎刃而解？克雷数研所发出质疑( 三 )

因为容易写出和Riemannzeta长得很像而且也具有函数方程、解析延拓，但是不满足相应RH的Dirichlet级数，例如Davenport-Heilbronn的例子。对于函数方程，我们在很多zeta函数上都已经会证。但是对于RH ，我们连最简单的数论情况都不会证。由于函数方程的层面是poissonsummation/traceformula ，个人的感觉是，可能traceformula并不足以对付RH 。不过或许最广义的Langlands还是有可能在这里起作用。那么，如果说函数方程、解析延拓（以及某些增长速度之类）还不足以推出RH ，到底还需要Dirichlet级数的什么性质？从Selbergclass看，还需要的是Euler积。
看上去很普通的Euler积，其实是很神秘的。怎么正确用上Euler积是个问题。
难点三：很难说出RH在模形式那边的对应物。
很难说「一个满足RH的Dirichlet级数」在Mellin变换后会变成满足什么性质。所以这种道路似乎是困难的。难点四：我们会证某些RH的类似物，但不知道怎么把结果转化到数域上。
经典的例子是Weil猜想的情况。由于2维的Weil猜想可以通过考虑CxC证，所以许多人希望用类似的办法证RH ，比如发展F_1然后看是不是可以把Z看成F_1x_ZF_1 。但目前还没有人知道怎么做。 Deligne对于高维Weil猜想的证明，实际在本质上也是类似的思路。而且这又涉及到一个经典问题：「frobeniusinchar.0」是什么？无法回答。 Connes的非对易几何对此曾试图有话要说。总之，几何的方法，目前可以对付localfield ，对付char.p ，对付函数方程，但仍然很难对付globalfield的RH 。还有一些很玄的方法，比如随机矩阵，比如SpecZ是三维的，比如物理Hamiltonian的思路，等等等等。大家知道，面对很难的猜想，大家攻击不进去，都会在它旁边转来转去，有时转来转去就自动开了，更多的时候还是总得要暴力攻击进去。我觉得这些转来转去可能是越转越难。令人困惑的问题仍然是：
怎么把Euler积这个条件正确地用上？
如果不用上这个条件，肯定不可能证出来RH 。因为不用上就有反例。
Naive地看， Euler积就是算术基本定理，就是classnumber1 ，但然后又怎样呢，不容易继续。也许先找到怎么证specialvalue的系列猜想（Beilinson/Tamagawaetc）会相对简单些。
总之，「黎曼猜想」就像是一座巍峨的高峰， 162年来从未有人成功攀上。
数学奇才KumarEaswaran试图在峰顶插上自己「到此一游」的旗帜。
最后却发现自己还在半山腰。
参考资料：
论文请跳转P164:https://sreenidhi.edu.in/pdffls/A_Report_on_Riemann_Hypothesis_updated(25-06-21).pdf