斯里尼瓦瑟·拉马努詹（ Iyengar Ramanujan）是印度自学成才的天才。|拉马努詹：自然数之和是-1/12，如何证明的？与弦理论是否有关？( 二 )

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其中n是一个整数，当n趋向于无穷时， S变成了格兰迪级数
我们观察到，当n从1到∞变化时从S得到的值，这些值会在0和1之间来回“跳转” ，或者换句话说， S的值不“收敛”于任何东西。
为了弄清收敛的概念，让我们考虑一个更简单的函数。

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从图中可以看出，随着x值的增加，函数f(x)慢慢地趋向于1 ，图形变得平坦。或者我们可以说，该函数收敛于1 。
而在另一方面，像这样的函数：

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是不收敛的，因为当x的值增大时，函数g(x)趋向于∞ ，不像f(x)那样收敛到常数1 。
拉马努詹无限级数错误的关键原因是认为S等于1/2 ，这在实际情况下是不可能的，尽管它被证明等于1/2 ，因为S是不收敛的，也就是说，即使我们取S的无限项之和，我们要么得到0 ，要么得到1 ，再加项会导致同样的结果， 0或1 。这里的S是一个交替的级数，即对于奇数项之和，得到一个特定的结果1 ，而对于偶数项之和，得到另一个结果0 ，而且数值一直在变化。
对于第二个级数T ，也可以发现类似的错误。
T=1-2+3-4+5-6+7-...
重新排列和简化后我们得到：
T=(1-2)+(3-4)+(5-6)+...
T=-1-1-1-...
或者用更多的数学术语来说。

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它与最初发现的1/4的值不一致是有道理的，因为我们曾用S=1/2来找到相同的值，而我们已经看到， S=1/2是绝对错误的。
此外，作为所有自然数之和的U可以写成。

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U以极限的形式写出来
从U的极限表达中可以看出， n(n+1)/2不能被简化以得到∞以外的结果。因此，由于所有自然数之和n(n+1)/2绝不是收敛的，我们不能期望它收敛到-1/12 。
注意到前面讨论的弦理论中出现的-1/12是很有趣的，这将是下一篇文章的主题了。
来源：老胡说科学