新东方|求解函数y=√2-x^2的最值

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几种方法求解y=√2-x^2在[0√2
上的最值
主要内容：分别介绍用复合函数单调性、三角换元法、导数法和数形结合法求函数y=√2-x^2在[0√2
上的最值。

方法1：复合函数单调性质求解
∵y=√2-x^2函数由幂函数y=√u ， u=2-x^2复合而成，
【新东方|求解函数y=√2-x^2的最值】且在x≥0时， y=√u为增函数， u=-x^2+2为减函数。
∴函数y=√2-x^2在区间[0√2
上为减函数。
所以：
ymax=f(0)=√(2-0)=√2 ，
ymin=f(√2)=0.
方法2.三角换元法
设x=√2*sint ， t∈[0π/2
，则：
y=√2-x^2
=√[2-(√2*sint)^2

=√2*√(1-sin^2t)
=√2*cost.
根据cost在[0π/2
上的取值，可知：
ymax=f(0)=√2*cos0=√2
ymin=f(π/2)=√2*cosπ/2=0 。

方法3.数形结合法
∵y=√2-x^2≥0
∴y^2=√2-x^2
即：y^2+x^2=2.
又因为y^2的系数=1 ， x^2的系数=1 ，则可以把上述方程看成圆在x轴上方的部分。
此时ymin=0y的最大值为曲线在y轴上的截距。
即：ymax=f(x=0)=√2 。
方法4.导数法
∵y=√2-x^2
∴y＇=-x/√2-x^2 。
又因为x∈[0√2
，即x≥0.
所以-x≤0 ，则y＇≤0.
故函数y在定义域上为减函数。
ymax=f(0)=√(2-0)=√2 ，
ymin=f(√2)=0 。