复数是不是描述物理世界所必需的？｜袁岚峰

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导读
复数仍然是量子力学中不可或缺的。
根号-1等于多少？上过高中的人都知道，它不是实数，而是虚数，一般写作i 。复数就是形如z=x+yi的数，其中x和y是两个实数。请问，复数是不是描述物理世界所必需的？这个问题意外的深奥，最近刚刚由中国科学家得到一个明确的答案（http://news.ustc.edu.cn/info/1055/78317.htm）。

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在二十世纪之前，普遍的看法是，复数只是一种数学构造，并不是物理理论的必需。例如用复数可以方便地描述波动或者电路，但这只是一种数学技巧。完全用实数也足以描述这些现象，只是稍微麻烦一点而已。因为说到底，可观测的所有物理量都是实数，例如位置、动量、角动量、质量。实际上， “虚数”这个名字就隐含着“跟现实无关”的意思。
然而二十世纪初，量子力学出现之后，情况发生了翻天覆地的变化。量子力学里描述一个体系的数学形式叫做波函数，往往写作ψ ，它是一个复函数。量子力学里的基本方程叫做薛定谔方程，它是一个复数方程。薛定谔的墓碑上就刻着这个方程，。你看，第一个字母就是虚数单位i！

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所以一百年来，包括我在内的所有学过量子力学的人，都记住了复数是量子力学里必不可少的。杨振宁先生评论过：“量子力学是人类历史上一个大革命，发展以后，发现基本物理里头要用到i=根号-1 。念过高中数学的人，恐怕还记得这个i 。它在量子力学以前也出现过，可是不是基本的，只是一个工具。到了量子力学发展以后，它就不只是个工具，而是一个基本观念了。为什么基础物理学必须用这个抽象的数学观念：虚数i ，现在没有人能解释。 ”

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你可能会问，难道量子力学里的物理量不是实数了吗？难道你会测得一个体系的位置或动量是虚数吗？回答是不会，量子力学仍然会保证所有这些量都是实数， ——在经过一系列的复数运算之后。这就是量子力学的精妙之处。例如单粒子的波函数ψ是一个关于粒子坐标x,y,z的函数， ψ在(x,y,z)这一点的绝对值的平方就是粒子出现在这一点的概率密度。复数取了绝对值当然就是实数了，大家明白这意思了吧？
然而，一直有些理论家在努力地尝试把量子力学纯粹用实数表达出来。也就是说，他们希望把复数在量子力学中的作用降低到在波动理论或电路理论中的水平，即有用但非本质。其实对于单粒子体系，这样的理论很容易构造。因为一个复数就相当于两个实数，一个实部加一个虚部，所以把变量数目加倍就行了。用专业语言说，就是把希尔伯特空间的维度加倍，这样就可以构造一个跟标准理论完全等价的纯实数理论。
然而量子力学最奇妙的地方并不在于单粒子，而在于多个粒子之间的量子纠缠。大家看我最近出版的科普书《量子信息简话》，就可以明白量子纠缠是什么意思，它为什么如此奇妙。用专业语言说，量子纠缠推翻了“局域实在论” ，即真实世界或者不是局域的，或者不是实在的，或者两者都不是。所以对于纯实数理论来说，真正的考验在于，它能不能跟标准理论同样好地描述量子纠缠？